مفارقة يوم الميلاد هي مفهوم مدهش في الاحتمالات يوضح مدى احتمال مشاركة شخصين في مجموعة في نفس تاريخ الميلاد. في مجموعة مكونة من 23 شخصًا فقط، هناك فرصة أكبر من 50% لكي يتشارك شخصان على الأقل يوم الميلاد نفسه. وطبعًا يزداد هذا الاحتمال بسرعة مع إضافة كل شخص إضافي إلى المجموعة. تأتي "المفارقة" من حقيقة أن النتيجة غير بديهية للغاية، لأن معظم الناس قد يخمنون أن الاحتمال يجب أن يكون أقلّ من ذلك بكثير، إي إننا سنحتاج إلى عدد أكبر بكثير 23 شخصًا لتحقيق ذلك. في الواقع، قد يبدو للوهلة الأولى أننا سنحتاج إلى نصف عدد أيام السنة على الأقل (حوالي 182 شخصًا) للحصول على فرصة 50٪ لعيد ميلاد مشترك، لأنّ هناك احتمال بنسبة 1/365 أن يكون لشخص آخر نفس تاريخ ميلادك. وما يؤكّد حدسنا هو أنك التقيت بأكثر من 23 شخصًا بكثير، ولكنك لا تعرف أحداً يشاركك يوم ميلادك (أو تعرف ولكن العدد قليل جدًا). فكيف يمكن أن يكون هذا صحيحًا؟

المدهش أن العدد 23 صحيح تمامًا، ويمكن البرهان عليه رياضيًا. المفتاح هو أن حدسنا البسيط يتجاهل حقيقة أنّ علينا ليس فقط التحقق من تاريخ ميلاد شخص واحد مقارنة بالآخرين، بل التحقق من جميع الأزواج المحتملة من الأشخاص في المجموعة. بكلمات أخرى، نحن لا نقارن يوم ميلاد شخص ما بيوم ميلاد أي شخص آخر فحسب، بل نقارن كل شخص في المجموعة بجميع الأشخاص الآخرين فيها. بوجود 23 شخصًا، هناك العديد من الأزواج المختلفة من الأشخاص الذين يمكننا المقارنة بين تواريخ ميلادهم.

على سبيل المثال: تخيل أن المجموعة مكوّنة من شخصين فقط: أنت وشخص آخر، زوج واحد فقط. هناك فعلاً احتمال ضئيل (1/365) أن يكون لكما يوم الميلاد نفسه. الآن مع إضافة شخص ثالث إلى المجموعة، يصبح هناك ثلاثة أزواج للمقارنة: أنت والشخص الثاني الذي كان معك، أنت والشخص الثالث الذي أضيف، والشخص الثاني مع الثالث. ومع إضافة المزيد من الأشخاص، فإن عدد الأزواج سيزداد كثيرًا، ومن ثمّ فإن فرص مشاركة شخصين يوم الميلاد نفسه تزداد كثيرًا أيضًا. وبحلول الوقت الذي يكون لديك فيه 23 شخصًا في المجموعة، يكون هناك 253 من الأزواج للمقارنة، وهذا العدد الكبير من المقارنات هو الذي يجعل الاحتمال يصل إلى حوالي 50%.

لفهم المسألة فهمًا أفضل، دعونا أولاً نحدد الموقف رياضيًا. لنفترض أن هناك 365 يومًا في السنة، ونتجاهل السنوات الكبيسة بهدف التبسيط. نريد حساب احتمال أنه في مجموعة مكونة من n من الأشخاص، يشترك اثنان على الأقل في نفس تاريخ الميلاد. من المفترض أن يكون عيد ميلاد كل شخص متساويًا في أي يوم من الأيام الـ 365، وتكون أعياد الميلاد مستقلة بعضها عن البعض الآخر. من الأسهل حساب الاحتمال التكميلي (أي احتمال عدم مشاركة أي شخص في تاريخ الميلاد)، ثم طرح هذا من 1 للحصول على احتمال مشاركة شخصين على الأقل في تاريخ الميلاد.

أولًا - حالة شخص واحد: يمكن أن يكون لدى الشخص الأول أي عيد ميلاد، ومن ثمّ فإن احتمال أن يكون تاريخ ميلاده فريدًا هو 1 (أي 100%).

ثانيًا - حالة شخصين: لكي يكون تاريخ ميلاد الشخص الثاني مختلفًا عن تاريخ ميلاد الشخص الأول، يكون لديه 364 خيارًا (من 365)، نظرًا لأن الشخص الأول قد أخذ يومًا بالفعل. والاحتمال هو 364 / 365.

ثالثًا – حالة ثلاثة أشخاص: لكي يكون لدى الشخص الثالث تاريخ ميلاد مختلف عن الشخصين الأولين، يكون لديه 363 يومًا للاختيار من بينها. والاحتمال هو 363 / 365.

رابعًا - استمرار النمط: عندما نضيف المزيد من الأشخاص، يكون لدى كل شخص جديد يوم واحد أقل متاحًا للاختيار من بينها لتجنب مشاركة يوم ميلاده مع باقي الأشخاص في المجموعة. للشخص الرابع: 362 / 365، وللشخص الخامس: 361 / 365​ وهكذا دواليك...

لحساب احتمال عدم مشاركة شخصين في نفس تاريخ الميلاد في مجموعة مكونة من n شخصًا، نقوم بضرب كل هذه الاحتمالات معًا. وهذا يعطي احتمال أن يكون لكل شخص جديد يوم ميلاد مختلف عن أي شخص آخر سبقه. لذا، بالنسبة لـ n شخصًا، فإن احتمال عدم وجود تواريخ ميلاد مشتركة هو: (364 / 365).( 363 / 365).( 362 / 365).....(365-n+1 / 365).

على سبيل المثال، عندما n = 23، فإن احتمال عدم مشاركة شخصين في تاريخ الميلاد هو

(364 / 365).( 363 / 365).( 362 / 365).....(343 / 365)

يمكننا حساب هذا الجداء باستعمال آلة حاسبة بسيطة، والنتيجة هي 0.4927 تقريبًا (أي حوالي 49.27%). الآن، لإيجاد احتمال مشاركة شخصين على الأقل في تاريخ الميلاد، نطرح هذه القيمة من العدد 1 فنجد: 1−0.4927=0.5073، وبذلك يكون الاحتمال حوالي 50.73% لـ 23 شخصًا.

طبعًا سيزداد الاحتمال بسرعة: مع 30 شخصًا (قاعة صفّ مثلًا)، يقفز الاحتمال إلى حوالي 70%. مع 50 شخصًا (ركاب عربة قطار مثلًا)، يكون الاحتمال حوالي 97٪. ومع 70 شخصًا (الأشخاص المدعوون إلى حفلك مثلًا)، تزيد النسبة عن 99.9%، ما يعني أنه من المؤكد تقريبًا أن شخصين يتشاركان يوم الميلاد نفسه في مجموعة مكونة من 70 شخصًا.

مفارقة عيد الميلاد هي مثال مشهور في نظرية الاحتمالات، يبيّن كيف يمكن لمجموعات صغيرة نسبيًا أن تنتج احتمالات عالية بشكل مدهش لنتائج معينة (مثل أعياد الميلاد المشتركة). وتعتبر مثالًا رائعًا لكيفية صراع الحدس البشري في كثير من الأحيان مع الاحتمالات، وكيف يمكن لحدسنا أن يضلّلنا، خاصة عندما يتعلق الأمر بمقارنات متعددة. كما تُظهر بوضوح المنطق المعيب الذي يمكن أن نستعمله أحيانًا.